余弦函数的图像基础

余弦函数的图像_基于学生数学知识建构的一节作图课_基于课程标准的数

第八节　正弦函数、余弦函数的图像[8]——基于学生数学知识建构的一节作图课

2008年11月14日，浙江省“百人千场”送教下乡活动在浙江省衢州市常山中学举行。此次活动特邀浙江省嘉兴市第一中学吕峰波老师执教“正弦函数、余弦函数的图像”（人民教育出版社出版的教科书（A版）必修4）。这是一节关于作图的新授课，如何上好这节新授课呢？执教者研读教材后，决定紧紧围绕函数图像，从直观图像入手，引导学生探索函数y＝sin x的图像，在师生共同研究函数图像的过程中，让学生把握正弦函数、余弦函数的图像基本特征，自然而然地理解“五点法”，从而完成新知识的建构。

一、教学过程简录

（一）初识图形，新课引入

师：我们来看下面的图形，你熟悉吗？(www.guayunfan.com)

图3-8-1

图3-8-2

图3-8-3

师：它们是什么函数的图像？

生（众）：一次函数、二次函数、指数函数。

师：我们在研究函数时要利用图像；同样地，根据函数图像可以进行相关函数及其性质的研究。

师：图3-8-4是什么曲线呢？你以前看到过吗？

图3-8-4

生1：医学中的脑电图曲线图。

生2：经济学中的股票价格曲线图。

师：在很多领域，都有类似于这样的曲线图。除了同学们刚才说到的例子外还有：在心理学中，心理学家研究发现，人的情绪、体力、生理、智力都有周期，一般是28天到35天。就像图3-8-4的曲线一样有高峰和低谷。在文学中有诗：问君能有几多愁，恰似一江春水向东流。同学们可以在生活中留意观察类似的图像。

（二）动画演示，得出图像

师：刚才提到的生活中的这些曲线都和正弦函数的图像有关，今天我们要研究正弦函数y＝sin x的图像。

师：角α的正弦值是如何定义的？

生3：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），y就是角α的正弦值。

生4：就是正弦线MP的数量。

师：很好，角α的正弦可以用代数形式也可以用几何形式来表示，这两位同学从两方面作了很好的回答。下面我们用几何画板进行演示，请同学们观察正弦线的变化，你有什么发现？

（教师动画演示……）

生5：角α取值为R，sinα取值为［－1，1］。

生6：正弦线出现周而复始的变化。

……

师：下面我们来作函数y＝sin x的图像，你有什么想法？

生7：只要作出函数y＝sin x在x∈［0，2π］上的函数，然后平移即可。

师：很好，那么如何来作出函数y＝sin x在x∈［0，2π］上的图像？

生7：我们可以用列表、描点、连线的方法。

师：那么取几个点，哪几个点呢？

生8：太多了麻烦，太少了不精确，我就取如下五点：

师：请同学们根据这五点连线。

……

师：问题，函数y＝sin x在x∈［0，2π］上的函数最有可能是图3-8-5中的（　　）。

图3-8-5

生9：可以排除选项（A）、（B）、（C），故选（D）。

师：那（D）为什么是对的？

生9：我们可以增加点来验证。

师：我们考虑把［0，2π］12等分。对于每一个角的正弦值，我们可以用正弦函数线来进行几何描点。一起看几何画板演示：

首先，在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，把⊙O1分成12等分。过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，，…，2π等角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等分，把相应角的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的相应点重合（这样的描点法我们称为几何描点）。再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来。

这时，我们看到的这段光滑曲线就是函数y＝sin x在x∈［0，2π］上的函数。

那么函数y＝sin x在x∈R上的图像怎样得到呢？

生10：因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x在x∈［2kπ，2（k＋1）π］，k∈Z且k≠0上的图像与函数y＝sin x在x∈［0，2π）上的图像的形状完全一样，只是位置不同。于是我们通过平移，就可以得到正弦函数y＝sin x在x∈R上的图像。

师：很好，我们把它称为正弦曲线。你能得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图像吗？

生10：由诱导公式可知：y＝cos x＝sin（＋x）＝sin（x＋），因此y＝cos x，x∈R的图像可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到。

师：很好，我们把它称为余弦曲线。我们可以发现正弦曲线和余弦曲线的形状是相同的。

（三）螺旋上升，发展能力

师：我们再来看刚才的问题，有了（0，0），（，1），（π，0），（，－1），（2π，0）这五个点，如何作出函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图像？

生：我们可以根据正弦函数的大致变化来作了，就如前面的问题，我们会选择（D）。

师：取其他五点行吗？

生11：这五点反映了图像的最主要特征，平衡位置，最高点和最低点，取其他五点不妥当。

师：很好，事实上，描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈［0，2π］的形状基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常线找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图。这种方法称为“五点（画图）法”。

师：请同学们用“五点法”分别作出y＝1＋sin x与y＝－cos x在x∈［0，2π］上的简图。

……

师：现在请同学们谈谈学习这节课的感受。

（四）体验过程，完善认知

生6：除了列表描点也可以用几何描点，开阔了我的思路。

生8：我知道正弦、余弦函数图像的大致走势了，能根据五点作函数图像了。

生9：对两个有关系的函数图像，我们可以通过图像变换来得到，不一定每次都要描点、连线。

……

师：请同学们将这节课从知识到方法作出归纳与总结。

……

二、点评

函数图像的研究是高中数学的重要内容，本节中正弦函数、余弦函数的图像在高中数学中占有重要的地位，这节课既是对“列表、描点、连线”的作图方法的复习，又是“几何描点”的新授课；这节课既要让学生掌握“五点作图法”，又要会进行函数图像的平移。本节课的重点定位为用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线，难点定位为利用单位圆画正弦曲线比较适切。为此本节课紧紧围绕重点，有效地突破了难点，体现出了如下特色。

（一）在引导学生探索中实现知识的建构

本节课教材的内容非常简单，如何使学生掌握正弦、余弦函数图像本质，吕老师对教材进行了深层次地挖掘，通过以下几处关键点引导学生进行探索：①在对正弦函数线的复习时，引导学生从代数和几何两方面来分析问题，同时也为后面几何描点作准备；②师生共同研究为何首先取五个点描点，体现了从个别到一般的思想；③精心设计，通过选择题给出的四个图，把学生可能发生的错误放大；④在关于正弦、余弦函数作图时两次向学生提问“仅仅有五点够吗？”这样的教学设计使学生对同一个问题加深了理解，同时在这个过程中让学生从无到有地逐步体会正弦函数图像。把看似简单的正弦、余弦函数的图像赋予丰富的内容，在这个过程使学生实现了数学知识的建构。

（二）信息技术与数学课程的有效整合

多媒体的运用相当到位，通过PPT和几何画板的结合体现了正弦函数线、正弦函数的动态性。老师在黑板上做了很好的示范，同时也体现了教师的基本功，也留给了学生充分思考和探索的时间。在教学中，多媒体的应用不是为了表演，在本节课中，黑板、多媒体、投影进行了交互使用，数形结合与图形直观的思想得到充分体现。

（三）师生互动，促进学生数学知识的深刻理解

本节课很好地体现了师生互动，只有这样才能使学生对函数图像认识深刻，学生真正在头脑中把函数图像留下来了。事实上，教师一边提问，一边密切观察学生的反应，对整节课进行了很好的把握。把简单的内容通过师生对话、错例剖析，采用各种活动，简单的内容如何使学生觉得有趣。最后，师生共同总结，收获的不只是知识上的，更是思想上的。