爱因斯坦的数学之旅

爱因斯坦的数学之旅

1905年3月17日，阿尔伯特·爱因斯坦在《物理年鉴》（Annalen der Physik）杂志上发表了一篇绝世论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》（Üer einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt），创造性地率先提出光量子理论。这篇论文为爱因斯坦赢得了1921年度的诺贝尔物理学奖章，同时开启了现代物理学史上极负盛名的“爱因斯坦奇迹年”（Einstein’s Annus Mirabilis）。

1905年5月11日，这名初出茅庐的物理学家再接再厉，又在德国《物理年鉴》杂志上发表了一篇学术论文《热力学的分子运动论所要求的静态液体中悬浮粒子的运动》（Die von der molekularkinetischen Theorie der Wäme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüsigkeiten suspendierten Teilchen），从而激发了布朗运动的研究热潮。

1905年6月30日以及9月27日，这位联邦专利局小职员再度出击，于《物理年鉴》杂志上发表了《论运动物体的电动力学》（Elektrodynamik bewegter Köper）以及《物体的惯性同其所含有的能量有关吗？》（Ist die Träheit eines Köpers von seinem Energieinhalt abhägig?）等两篇重要论文，将人类文明带入了相对论与质能方程“君临天下”的新时代。

六年后，爱因斯坦又发表了《引力对于光传播的影响》（On the Influence of Gravitation on the Propagation of Light），将广义相对论引入了人们的视野。然而在当时，物理学家都觉得这套全新理论非常难以捉摸，因其在牛顿力学的三维空间基础之上引入了第四维度的概念；而第四维度究竟拥有怎样的物理意义，竟然没有一名物理学家能够予以清晰解读。若不是1919年5月29日由亚瑟·爱丁顿勋爵（Sir Arthur Stanley Eddington）亲自率领的英国皇家科学院与英国皇家天文台联合考察队在西非几内亚湾内的普林西比岛（Principe）等地观测日全食之后，发现恒星的光弯曲数据几乎分毫不差地吻合广义相对论的早前预期，那群保守而又对数学并不太擅长的物理学家们依旧不打算接受爱因斯坦的理论。(www.guayunfan.com)当时还流行一则有趣的故事：一位英格兰记者询问学习数学出身的亚瑟·爱丁顿勋爵，全世界是否只有三个人真正懂得爱因斯坦的广义相对论（其中当然要包括爱因斯坦本人），这位亲自验证广义相对论正确性的剑桥大学天文学教授竟然疑惑地问道：第三个人是谁？

很明显，爱丁顿勋爵认为自己是除爱因斯坦之外唯一懂得四维空间的物理学家。毕竟，类似于第四维度的概念确实不是非数学家所能真正理解（至少在那个年代情况确实如此）。而爱因斯坦想要说服那帮物理学家认同自己的惊人思想，哪怕尝试认同，甚至比登天还难！因此这位物理学巨匠从一开始就没打算要从物理学王国里获得有效支持，而是“曲线救国”，径直走向了全世界数学家的大本营：德意志小镇哥廷根（Götingen）。

哥廷根坐落于德国下萨克森州（Niedersachsen），是举世闻名的大学城。自从1795年数学王子卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）在这里奠定了数学的皇室血脉之后，这座历史极其悠久的文化小镇就成为了全世界高等数学人才的制造中心。在短短的一百多年时间当中，哥廷根为人类文明贡献了包括弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）在内的一大批超顶尖、划时代的数学巨匠，并为整个19世纪的数学发展贡献了难以忽视的决定性力量。

发展到20世纪初，哥廷根更是拥有了克里斯蒂安·克莱因（Ch ristian Felix Klein）、大卫·希尔伯特（David Hilbert）、范·德·瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）、赫尔曼·闵科夫斯基（Hermann Minkowski）、埃德蒙·朗道（Edmund Georg Landau）、赫尔曼·雨果·外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl）、理查德·柯朗（Richard Courant）、恩斯特·弗里德里希·策梅洛（Ernst Friedrich Zermelo）、爱弥尔·阿廷（Emil Artin）、赫尔穆特·哈塞（Helmut Hasse）、埃米·诺特（Emmy Noether）等当时最富有影响力的数学宗师，俨然成为了“全世界数学中心”。

令人感到遗憾的是这一荣誉并未保持太久。纳粹政权上台以后，许多顶尖犹太数学家被迫离开哥廷根大学加盟了美国普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study, IAS）；仅仅剩下了大卫·希尔伯特等区区几个人留守在德国，继续从事探究人类理性的伟大工作。非常有意思的是：美国人从德国人手中抢来的数学家为他们建立了一个升级版的数学基地！“量子力学教父”尼尔斯·玻尔（Niels Henrik Bohr）的弟弟哈罗德·玻尔（Harold Bohr）曾经高傲地向世人宣称：普林斯顿高等研究院是“银河系数学中心”！

不过，在20世纪的头二十年，哥廷根大学依旧牢牢地把持着数学世界的王冠。否则爱因斯坦也不会在广义相对论已经令他感到焦头烂额的1915年接受希尔伯特的盛情邀请，来到哥廷根大学参加一场为期六天的数学与物理学讲座。事实上，与其说爱因斯坦是前往哥廷根讲课的，倒不如说是去听课。正是在这六天期间，爱因斯坦收获了一直以来都渴望能得到的东西：来自数学家的理解以及解读广义相对论的几何学。

相对论中令物理学家感到头疼的四维空间概念在哥廷根大学的这帮数学天才眼中就是一系列简单得不能再简单的高维立体几何公式。当爱因斯坦在坐满数学家的讲堂里完成了他的演讲之后，现场爆发出一阵饱含赞许意味的掌声。爱因斯坦曾经于日后回忆说，他在希尔伯特和克莱因这样的顶级数学家眼中看到了他们透彻的理解并因此而感到无比欣慰。

有关广义相对论的几何学原理，则更是涉及到一段千古传奇。故事的主角是爱因斯坦和闵科夫斯基。闵科夫斯基出身于一个俄国大资产阶级犹太家庭，在家中排行老三。八岁时便跟随全家移民至普鲁士，定居于文化名城哥尼斯堡（今属俄罗斯；又名加里宁格勒）。或许缘分天合，闵科夫斯基一家与其未来终生好友大卫·希尔伯特相住仅一桥之隔。

1896年9月，爱因斯坦进入瑞士苏黎世联邦理工学院攻读物理学。而就在同年春天，闵科夫斯基接受了好友邀请，告别了第二故乡哥尼斯堡，也投奔至这家著名的高等学府，在基础数学系里担任副教授，并在爱因斯坦入学后成为了其本科阶段的指导老师。

不过令人大跌眼镜的是：虽然爱因斯坦对这位数学巨匠一直印象颇佳，并且在多年后依然夸赞昔日恩师为“出类拔萃的教师”，闵科夫斯基却给了爱因斯坦的学生时代以极差的评价，称其为“喜爱旷课、一贯不完成作业、从来也不为数学操心的懒狗”。因此当他得知爱因斯坦于1905年发表了惊世骇俗的《论运动物体的电动力学》（即狭义相对论）之后，这位数学家甚至在同事面前大声惊呼道：这个懒家伙？怎么可能？

然而闵科夫斯基毕竟是一位有着高度专业素养的科学家。他立刻就跳入了用数学语言谱写相对论的时代浪潮。就在两年以后的1907年，闵科夫斯基结合爱因斯坦于狭义相对论中所使用的洛仑兹变换，创造了引入第四维度的全新非欧几何概念——“闵科夫斯基空间”。正是这一概念为1915年夏天爱因斯坦那趟为期六天的哥廷根之旅画上了完美的一笔。

事实上早在1907年，刚刚推演出四维空间的闵科夫斯基就曾经致信给爱因斯坦，提到了自己的最新研究进展。可惜当时爱因斯坦意气风发，正沉浸于狭义相对论的伟大成就，根本没有领会这项成果的积极一面及其所隐含的划时代意义。直到1915年的哥廷根，爱因斯坦才意识到原来这就是自己长期以来苦心寻找的终极定理。

1915年11月6号，爱因斯坦终于成功地在闵科夫斯基空间的几何学基础上建立了完整的广义相对论体系。11日至25日，爱因斯坦更是连续向普鲁士科学院提交了四篇有关广义相对论的经典论文。从前根本没能读懂新思想的物理学家们就此多了一件相对较为简单的数学工具用于理解和计算他们依旧没能真正搞清楚的“四维空间引力”。

客观而言，人类的想像力其实并不足以正确理解超越三维的事物；而只能凭借被高度数学化的公式前去“探知”和“运用”那些存在于多维空间里的客观物质。数学的发展使人类相信自己的理性水平不断超越前进，以至于不少科学家——尤其是数学家和物理学家——认为只要通过一系列纯粹数学推演，就能够理解宇宙的奥义。