内插法的基本原理

2.4.2　内插法的基本原理

内插法实际上是求解高次方程近似解的一种数学方法。下面我们结合净现值方程来说明其基本原理。

设投融资行为的净现值是贴现率K的一个函数，记为NPV＝f（K），具体形式见式（2-1）。显然，NPV是K的一个连续函数。我们以投资项目的净现值方程为例予以说明，这时NPV是K的递减函数。

第一步：先取K＝K₁，计算得到NPV₁＝f（K₁）。

第二步：如果f（K₁）＞0，再取K＝K₂，K₂＞K₁，计算得到NPV₂＝f（K₂）。

第三步：如果f（K₂）＞0，重复第二步，再取K₃＞K₂，继续进行测试；如果f（K₂）＜0，则再取K₃，K₁＜K₃＜K₂，继续进行测试。

这样一直试下去，经过若干次测试以后，序列｛K_n｝会收敛。从理论上说，必定存在K_m和K_m＋1，（K_m＜K_m＋1），使

f（K_m）＞0

f（K_m＋1）＜0

根据连续函数的性质可知，必定存在一个K₀，K_m＜K₀＜K_m＋1，使得f（K₀）＝0。这个K₀就是所求的内含收益率（IRR）。

那么，如何求出K₀呢？我们无法得到它的准确值，而只能计算其近似值。根据微分原理，在很小的区间内，直线可以近似代替曲线。根据解析几何中两点式直线方程和平面几何中相似三角形对应边成比例的原理，得到的内含收益率的近似值为K^﹡

内插法的求解原理可以通过图2-7描述。

图2-7　用内插法求IRR图示

在图2-7中，当K_m＋1－K_m足够小时，可以将曲线AB近似看成直线段AB，该直线与横坐标交点处的折现率K^﹡即为IRR的近似值。由于三角形AK_mK^﹡相似于三角形B K_m＋1K^﹡，根据相似三角形对应边成比例的原理，得到：

①注意：f（K_m＋1）为负值，故表示线段BK_m＋1的长度应当－f（K_m＋1）。

通过变换即可得到IRR近似值的求解公式（2-8）。

上面推导的是投资项目净现值方程内含收益率的求解过程。对于融资项目内含成本率近似值计算的原理与前面类似，只是NPV不再是贴现率的递减函数，而是递增函数。